ベクトルの射影と内積について
確率統計の本を読んでいて、共分散行列あたりで射影の話が出てきた。
そういえば射影についてのイメージがあやふやだったなと思ったのでメモ
かなり前に読んだフーリエの冒険を参考にした。
上の画像においてをとに射影するというのはを射影したい方向のベクトルと直交するように下ろして交わった時のベクトルとが射影ベクトルとなる。
何をしているかといえばはやではどういったもので表されるかみたいなものを、が示している。が卵を表すベクトルでがサンドイッチを表すベクトルならはタマゴサンドを表す(卵を使ったサンドイッチのネタならなんでもいいけど)。
なんで直交していないといけないんだろって思ったけどという関係が成り立つから何となく察した。
実際にをに向かって垂直に下ろしたとして、交わるを求めてみる。
をに向かって垂直に下ろしたときのベクトルはで表せる。
はと垂直だから内積は0になるのはわかる。
そしてはの長さが違うだけのものなので(スカラー倍)以下の関係になっている。
つまりは 定数x を求められれば実質求められる。いくつか悪さできそうな関係式とから
は を代入して
になる。これを展開して
つまりが得られる。
x だけの式に変形して
最後両辺にをかけたのはの右辺に上記を代入したいため。結果として
ただの定数xは分子も分母も内積な形で表されていたのだ・・・
と自体が直交していたらxの分子の内積は0になるので射影した値も0になるのがわかる。
中学か高校生の頃にこんな感じの式を見たことはないだろうか?
内積ってやつだ。これでさっき得られた式を書き換えてみる。
うーん。分子と分母の内積な形のときより得体の知れない形になってしまった。cosを何とかしたい
三角関数でよくみたやつだ。ん・・・?待てよ・・・?
cosをベクトルの長さから表すことができるんじゃないか!?
より、ベクトルの長さが得られた。おほ^〜
これらのことから
求めたい射影ベクトルの分母や分子の関係式はという得体の知れない関係式に直すことができ、それは
はの方向(単位ベクトル)にの長さだけ進んだベクトルという見方をすることできた。
そもそも射影って何が便利なんだろと考えたけどをりんご、オレンジ、桃の3つの果物を合わせたミックスジュースだとしたらそれを各成分ごとに分解したいといった時に便利なんかなと考えた。いや逆に射影ベクトルからミックスジュースのベクトルを作ることも可能なのか・・・?
今更だけど内積って二つのベクトルが同じ向きではないときに、どっちかのベクトルの方向に合わせて(のような処理)をして二つの長さを掛け合わせるといったイメージでいいのかな
内積もそうだけど距離というか位相というか連続や隣の概念のようなものについても勉強すべきだなと思った。