ベクトルの射影と内積について

確率統計の本を読んでいて、共分散行列あたりで射影の話が出てきた。
そういえば射影についてのイメージがあやふやだったなと思ったのでメモ
かなり前に読んだフーリエの冒険を参考にした。

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上の画像において{ \displaystyle \vec{B} }{ \displaystyle \vec{A_1} }{ \displaystyle \vec{A_2} }に射影するというのは{ \displaystyle \vec{B} }を射影したい方向のベクトルと直交するように下ろして交わった時のベクトル{ \displaystyle \vec{P_1} }{ \displaystyle \vec{P_2} }が射影ベクトルとなる。

何をしているかといえば{ \displaystyle \vec{B} }{ \displaystyle \vec{A_1} }{ \displaystyle \vec{A_2} }ではどういったもので表されるかみたいなものを{ \displaystyle \vec{P_1} }{ \displaystyle \vec{P_2} }が示している。{ \displaystyle \vec{B} }が卵を表すベクトルで{ \displaystyle \vec{A_1} }がサンドイッチを表すベクトルなら{ \displaystyle \vec{P_1} }はタマゴサンドを表す(卵を使ったサンドイッチのネタならなんでもいいけど)。

なんで直交していないといけないんだろって思ったけど{ \displaystyle \vec{P_1} + \vec{P_2} = \vec{B}}という関係が成り立つから何となく察した。

実際に{ \displaystyle \vec{B} }{ \displaystyle \vec{A_1} }に向かって垂直に下ろしたとして、交わる{ \displaystyle \vec{P_1} }を求めてみる。

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{ \displaystyle \vec{B} }{ \displaystyle \vec{A_1} }に向かって垂直に下ろしたときのベクトルは{ \displaystyle \vec{P_1} - \vec{B}}で表せる。
{ \displaystyle (\vec{P_1} - \vec{B})}{ \displaystyle \vec{A_1} }と垂直だから内積は0になるのはわかる。
そして{ \displaystyle \vec{P_1} }{ \displaystyle \vec{A_1} }の長さが違うだけのものなので(スカラー倍)以下の関係になっている。

{ \displaystyle \vec{P_1} = x\vec{A_1}} (xは定数)


つまり{ \displaystyle \vec{P_1} }は 定数x を求められれば実質求められる。いくつか悪さできそうな関係式{ \displaystyle \vec{A_1} \cdot (\vec{P_1} - \vec{B}) = 0}{ \displaystyle \vec{P_1} = x\vec{A_1}}から

{ \displaystyle \vec{A_1} \cdot (\vec{P_1} - \vec{B}) = 0}{ \displaystyle \vec{P_1} = x\vec{A_1}} を代入して
{ \displaystyle \vec{A_1} \cdot (x\vec{A_1} - \vec{B}) = 0} になる。これを展開して
{ \displaystyle x\vec{A_1} \cdot \vec{A_1} - \vec{A_1} \cdot \vec{B} = 0}つまり{ \displaystyle x\vec{A_1} \cdot \vec{A_1} = \vec{A_1} \cdot \vec{B} }が得られる。
x だけの式に変形して

{ \displaystyle x = \frac{ \vec{A_1} \cdot \vec{B}}{\vec{A_1} \cdot \vec{A_1}} }  { \displaystyle x\vec{A_1} = \frac{ \vec{A_1} \cdot \vec{B}}{\vec{A_1} \cdot \vec{A_1}}\vec{A_1} }

最後両辺に{ \displaystyle \vec{A_1} }をかけたのは{ \displaystyle \vec{P_1} = x\vec{A_1}}の右辺に上記を代入したいため。結果として

{ \displaystyle \vec{P_1} = \frac{ \vec{A_1} \cdot \vec{B}}{\vec{A_1} \cdot \vec{A_1}}\vec{A_1} }が得られる。


ただの定数xは分子も分母も内積な形で表されていたのだ・・・
{ \displaystyle \vec{A_1}}{ \displaystyle \vec{B}}自体が直交していたらxの分子の内積は0になるので射影した値も0になるのがわかる。

中学か高校生の頃にこんな感じの式を見たことはないだろうか?

{ \displaystyle \vec{X}\cdot \vec{Y} = |\vec{X}| |\vec{Y}|cos\theta}{ \displaystyle \vec{X}\cdot \vec{X} = |\vec{X}|^2}


内積ってやつだ。これでさっき得られた式を書き換えてみる。

{ \displaystyle \vec{P_1} = \frac{ \vec{A_1} \cdot \vec{B}}{\vec{A_1} \cdot \vec{A_1}}\vec{A_1} = \frac{ |\vec{A_1}| |\vec{B}| cos\theta}{|\vec{A_1}|^2}\vec{A_1} = |\vec{B}|cos\theta \frac{\vec{A_1}}{|\vec{A_1}|}}

うーん。分子と分母の内積な形のときより得体の知れない形になってしまった。cosを何とかしたい
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三角関数でよくみたやつだ。ん・・・?待てよ・・・?
cosをベクトルの長さから表すことができるんじゃないか!?
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{ \displaystyle cos\theta = \frac{|\vec{P_1}|}{|\vec{B}|}}より{ \displaystyle |\vec{P_1}| = |\vec{B}|cos\theta}、ベクトル{ \displaystyle \vec{P_1}}の長さが得られた。おほ^〜

これらのことから
求めたい射影ベクトル{ \displaystyle \vec{P_1} = \frac{ \vec{A_1} \cdot \vec{B}}{\vec{A_1} \cdot \vec{A_1}}\vec{A_1} }の分母や分子の関係式は{ \displaystyle \vec{P_1} = |\vec{B}|cos\theta \frac{\vec{A_1}}{|\vec{A_1}|}}という得体の知れない関係式に直すことができ、それは f:id:Owatank:20180224163131p:plain
{ \displaystyle \vec{P_1}}{ \displaystyle \vec{A_1}}の方向(単位ベクトル)に{ \displaystyle |\vec{P_1}| = |\vec{B}|cos\theta}の長さだけ進んだベクトルという見方をすることできた。

そもそも射影って何が便利なんだろと考えたけど{ \displaystyle \vec{B}}をりんご、オレンジ、桃の3つの果物を合わせたミックスジュースだとしたらそれを各成分ごとに分解したいといった時に便利なんかなと考えた。いや逆に射影ベクトルからミックスジュースのベクトルを作ることも可能なのか・・・?

今更だけど内積って二つのベクトルが同じ向きではないときに、どっちかのベクトルの方向に合わせて({ \displaystyle |\vec{B}|cos\theta}のような処理)をして二つの長さを掛け合わせるといったイメージでいいのかな

内積もそうだけど距離というか位相というか連続や隣の概念のようなものについても勉強すべきだなと思った。

参考アンド宣伝
フーリエの冒険
フーリエの冒険
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